نظریه طبیعی مجموعه ها

بخشی از مقدمه نویسنده :

همه ریاضیدانان در این نکته اتفاق نظر دارند که هر ریاضیدانی باید قدری نظریه مجموعه ها بداند، اما وقتی می خواهند این مقدار را تعیین کنند اختلاف نظرها شروع می شود. این کتاب نظر نویسنده در این باب است. هدف این کتاب این است که حقایق اساسی نظریه مجموعه ها را به دانشجوی مبتدی ریاضیات عالی بیاموزد و این کار را با کمترین قیل و قال فلسفی و صورتگرایی منطقی انجام دهد.

دیدگاهی که در سراسر کتاب اختیار شده، دیدگاه کسی است که در آینده ریاضیدان خواهد شد و مشتاق است که به مطالعه گروهها، انتگرالها یا بسلاها بپردازد. از این دیدگاه، مفاهیم و روشهای این کتاب برخی از همان ابزارهای متداول ریاضیات است، و متخصصان خبره چیز تازه ای در آن نخواهند یافت. با اینکه ذکر منابع و ارجاعات، به شیوه محققان، در چنین کتابی که صرفاً به تشریح موضوع اختصاص دارد بیجاست، اما دانشجویی که به نظریه مجموعه ها، برای نفس موضوع، علاقه مند می شود باید بداند که این مبحث به آنچه در این کتاب آمده ختم نمی شود. کتاب نظریه مجموعه های هاوسدرف هنوز هم یکی از زیباترین منابع فاضلانه در این زمینه است، و نظریه اصل موضوعی مجموعه ها اثر سوپز کتابی است بسیار خواندنی، با کتابشناسی جامع و امروزی، که اخیراً به مجموعه آثاری که در این زمینه هست اضافه شده است.

شاید بهتر می بود که به جای نظریه طبیعی مجموعه ها، این کتاب را طرحی کلی از مبانی نظریه طبیعی مجموعه ها بنامند. واژه مبانی به خواننده هشدار می دهد که همه چیز را در این کتاب نخواهد یافت، و طرح کلی به او هشدار می دهد که حتی آنچه بیان شده نیز ناقص است. سبک نگارش کتاب معمولاً آن قدر غیر رسمی است که گاهی شکل محاوره می یابد. فقط معدودی از قضایا ثابت شده اند، و در مورد بیشتر موضوعات، چنانکه در درسهای توصیفی مرسوم است، به بیان قضیه و ارائه طرحی کلی از برهان آن اکتفا شده است. با اینکه در این کتاب فقط معدودی تمرین هست که رسماً چنین عنوانی دارند، بخش اعظم کتاب چیزی جز یک رشته دراز از تمرینها و راهنماییهایی برای حل آنها نیست. خواننده باید همواره از خود بپرسد که آیا راه پی بردن از یک راهنمایی به راهنمایی بعدی را می داند یا نه، و بنابراین اگر سرعت خود را در مطالعه بسیار کمتر از حد معمول یافت نباید دلسرد شود.
غرض این نیست که گفته شود مطالب این کتاب بیش از اندازه دشوار یا عمیق است، حقیقت این است که مفاهیم آن بسیار انتزاعی اند و بنابراین خوکردن به آنها به صرف وقت نیاز دارد. اما یکی از بدیهیات ریاضی این است که هرچه دامنه کاربرد قضیه ای وسیعتر باشد عمق آن کمتر است. کار دانشجو در یادگیری نظریه مجموعه ها این است که در کلیات ناآشنا و اساساً کم عمق غوطه ور شود تا به جایی برسد که با این مفاهیم کاملاً آشنا شده بتواند آنها را بی هیچ تلاش آگاهانه ای به کار برد. به عبارت دیگر، نظریه عمومی مجموعه ها در واقع چیز بدیهی و پیش پا افتاده ای است، اما اگر می خواهید ریاضیدان شوید باید آن را کمی بشناسید. و این کم، همین است : آن را بخوانید، جز وجود خود کرده فراموشش کنید.